Diskrétne a nelineárne systémy AR

Lineárne diskrétne systémy automatického riadenia



    Diskrétne SAR sú systémy, u ktorých je charakter signálu diskrétny, teda aspoň jeden člen pracuje nespojito (informáciu prijíma, vydáva alebo oboje v spravidla rovnomerných diskrétnych časových okamihoch). Aspoň jedna veličina obvodu musí mať tvar postupnosti diskrétnych hodnôt.
    Diskretizácia je proces, ktorý prebieha v dvoch rovinách (čas; amplitúda):

  • vzorkovanie


Obr. 7.1 Vzorkovanie

    Vzorkovanie (diskretizácia v čase) je proces, pri ktorom pôvodne spojitý signál prestane byť spojitý v čase. Časový interval medzi snímaním (určením) dvoch po sebe idúcich hodnôt signálu, nazývame perióda vzorkovania $T_V$. Prevrátenou hodnotou periódy vzorkovania je vzorkovacia frekvencia $f_V$:
$f_V=\dfrac{1}{T_V}$
    Signál je vyjadrený len v časových okamihoch - celistvých násobkoch periódy vzorkovania $k.T_V$, kde $k$ je celé číslo. Pritom platí, že hodnoty signálu získaného vzorkovaním sú stále v jednotkách pôvodnej fyzikálnej veličiny, napríklad vo Voltoch.

  • kvantovanie



Obr. 7.2 Kvantovanie

    Kvantovanie (diskretizácia v amplitúde) je proces, pri ktorom sa z pôvodne spojitého signálu stáva číslo. To už nebude v jednotkách pôvodnej fyzikálnej veličiny, ale je určené poradovým číslom hladiny, ku ktorej bol signál priradený. Dovolené stavy sú vopred definované.
    Koľko stavov je definovaných určuje kvantovač. Platí, že $n$-bitový kvantovač má $2^n$ stavov. Číslo $n$ udáva, na koľko bitové číslo sa prevádza signál. Napr. 4-bitový prevodník má 16 hladín, 8-bitový 256 hladín… Jemnosť kvantovania je teda daná počtom bitov prevodníka. Odstup hladín sa nazýva kvantovací (kvantizačný) krok $\Delta$.
    Keď poznáme rozpätie signálu, vieme kvantovanie previesť späť na jednotky (fyzikálne veličiny), ale len v číselnom zobrazení.
    Číslicové zariadenie využívané na diskretizáciu signálu v čase aj amplitúde (vzorkovanie a kvantovanie) nazývame analógovo-číslicový prevodník.


Obr. 7.3 Blok analógovo-číslicového prevodníka

    Kvalita prevodníka závisí od:
  •     vzorkovacej frekvencie – vyjadruje, koľko vzoriek zo signálu prevodník spracuje a prevedie za sekundu;
  •     počtu bitov, ktoré má prevodník k dispozícii.
    Aby sme nestratili informáciu o signáli, musíme splniť Shannon Kotelnikov vzorkovací teorém: frekvencia vzorkovania musí byť minimálne dvojnásobná ako maximálna frekvencia v užitočnom spektre signálu.

    Príklad

    Majme linku s prenosom 64 kbit/s, čo je základná norma pre telefónny prenos. Ako sa došlo k tejto hodnote?


    V telefónii sa využíva 8-bitový prevodník, užitočné spektrum je do 4 kHz, teda (4 kHz.8 bit = 32 kbit/s), pričom musí ísť o 2-násobné vzorkovanie (SK teorém) = 64 kbit/s.

    Formálny rozdiel oproti spojitým SAR

    Riadiaci systém sa prevedie na trojčlen (trojkonfiguráciu) typickú pre číslicové spracovanie signálov:


Obr. 7.4 Rozdiel medzi spojitým (hore) a diskrétnym (dole) SAR

    Jednotlivé členy v blokovej schéme majú nasledovný význam:
  •     A/D – zabezpečuje prevod na digitálny signál.
  •     e* - signál v číslicovej podobe, je navzorkovaný a nakvantovaný.
  •     ČP – číslicový počítač – spracováva čísla podľa algoritmu, ktorý je zadaný.
  •     u* - vypočítaná akčná veličina – číslo; poradové číslo hladiny. Problémom však je, že pre technické zariadenia je potrebné toto číslo opäť previesť na fyzikálnu veličinu.
  •     D/A – tvarovač (extrapolátor) – zabezpečuje prevod vypočítanej číselnej hodnoty akčnej veličiny na aspoň po častiach spojitú hodnotu a súčasne na reálnu fyzikálnu veličinu.

    Tvarovač

    Najčastejšie sa používa tvarovač 0. rádu:


Obr. 7.5 Tvarovač 0. rádu

    Na obrázku je šípkami vyznačený jeden diskrétny časový okamih, v ktorom je na vstupe tvarovača vyznačená diskrétna (vypočítaná - poradové číslo hladiny) hodnota signálu akčnej veličiny – tá je prevedená na fyzikálnu veličinu, to sa nedá zobraziť), ktorá je na výstupe pamätaná celú jednu periódu vzorkovania. V diskrétnom okamihu ďalšej vzorky vypočítanej hodnoty akčnej veličiny sa proces opakuje.
    Tvarovač nultého rádu si teda zapamätá hodnotu do ďalšieho času vzorkovania. Údaj sa stáva spojitým a číslo je prevedené naspäť na fyzikálnu veličinu (najčastejšie je ňou napätie).
    Hranaté signály, ktoré vzniknú prevodom, majú široké spektrum a preto sa výstup prevodníka často filtruje DP filtrom. Napríklad keď chceme niečo počúvať, vysoké harmonické treba potlačiť a prefiltrovať na signál základných harmonických (na obmedzené spektrum) a dostaneme hladké signály. V servomechanizmoch a podobných technických systémoch plnia funkciu DP filtra často priamo zariadenia zapojené na výstup tvarovača (keďže sú zotrvačné a ich prenos zodpovedá prenosu DP filtra).

    V počiatkoch zavádzania a rozvoja číslicovej regulácie, ktoré sa vyznačovalo pomalým vzorkovaním (veľkou periódou vzorkovania), musela pre tieto systémy vzniknúť teória pre diskrétne spracovanie signálov, ich užívateľ musel poznať a používať Z – transformáciu (viď základná literatúra predmetu ZLK). V dnešnej dobe, keď číslicové systémy disponujú mohutným výpočtovým výkonom a vysokými frekvenciami vzorkovania, sú už aj klasické PID regulátory nahradzované štandardnými regulátormi na báze mikroprocesorov či mikrokontrolérov (tie už na čipe obsahujú aj A/D a D/A prevodníky), v podstate bez toho, aby to užívateľ vedel – musel poznať teóriu diskrétneho spracovania signálov. Parametre takého číslicového regulátora zadáva užívateľ rovnaké, aké by nastavoval na spojitom regulátore. Číslicové spracovanie signálov sa tak stalo v podstate skrytou (vnútornou) vecou regulátora.
    Číslicová regulácia má veľa výhodných vlastností, od stálosti parametrov a jednoznačnej reprodukovateľnosti hodnôt (pri opakovaní výpočtov) po to, že umožňuje spracovávať veľa vstupných a výstupných veličín (signálov), teda používať podstatne zložitejšie zákony riadení, využiť výhody stavového opisu, optimalizovať procesy či sa samočinne ladiť (adaptovať) pri meniacich sa podmienkach.

    Niekedy sa (v prípade nutnosti) používajú tvarovače vyšších rádov. Napríklad tvarovač 1. rádu zistí rozdiel oproti predchádzajúcej hodnote, pamätá si trend vývoja a predpokladá nasledujúcu hodnotu ako súčet aktuálnej hodnoty a rovnakého prírastku, aký nastal v poslednej perióde vzorkovania. V čase medzi vzorkami potom lineárne aproximuje priebeh výstupného signálu medzi skutočnou hodnotou na počiatku danej periódy a predpokladanou hodnotou na jej konci. Výsledkom teda nie je schodovitý priebeh výstupného signálu, ale signál, ktorý je podstatne hladší (bližší k spojitému) a vo frekvenčnej oblasti má menej vyšších harmonických zložiek.


Obr. 7.6 Porovnanie tvarovača 0. rádu (vľavo) a 1. rádu (vpravo)


Nelineárne systémy automatického riadenia



    Lineárne systémy v praxi neexistujú, pretože u lineárnych systémov ide o dokonalú idealizáciu. Napr. ani zosilňovače nedokážu spracovať signály nad určitou hodnotou.
    Ak je u nelineárnych systémov odchýlka medzi výsledkami získanými lineárnou teóriou a skutočnosťou menšia ako cca 10 %, často sa tieto systému vysvetľujú a riešia lineárnou teóriou (hlavne stabilita, presnosť systému…).
    Teóriu nelineárnych systémov je nutné použiť, keď medzi lineárnou teóriou a praxou sú diametrálne rozdiely, teda keď sa objavia podstatné nelinearity, ktoré nemožno zanedbať (zmysluplne nahradiť lineárnou charakteristikou).

    Pre zopakovanie ukážme pomocou prevodovej charakteristiky vlastnosti lineárnych systémov:

    Lineárne SAR



Obr. 7.7 Prevodové charakteristiky lineárneho systému

    Na obrázku sú pre príklad znázornené prevodové charakteristiky lineárneho systému vždy pre určitú frekvenciu. Ide o amplitúdovú závislosť medzi vstupným signálom $A_1$ (amplitúdou) a výstupným signálom $A_2$ pri danej frekvencii. Pri nízkych frekvenciách je krivka strmšia, signál sa zosilňuje a naopak pri vysokých frekvenciách je krivka menej strmá a systém signál zoslabuje. Vieme, že sme zobrazili tri prevodové charakteristiky systému, ktorým zodpovedajú tri body určujúce amplitúdu (pri daných frekvenciách) na frekvenčných charakteristikách tohto systému. Takže pozor, aj lineárne systémy môžu podstatne meniť tvar signálu, ktorý má širšie frekvenčné spektrum a samotná zmena tvaru signálu ešte nie je ani dôkazom, ani spoľahlivým indikátorom nelinearity systému!
    Nelineárny systém sa vyznačuje nelineárnymi prevodovými charakteristikami jeho členov aj pri konštantnej frekvencii, naopak pre zjednodušenie predpokladáme, že nelinearita prevodovej charakteristiky je na frekvencii vstupného signálu nezávislá.

    Nelineárne SAR

    Nelinearita môže byť:
  • požadovaná (úmyselne zavedená),
  • parazitná (nechcená).

    Základné nelinearity – idealizované prevodové charakteristiky:

    1. Pásmo nasýtenia

    Výstupný signál, ktorý by mal pokračovať (narastať) lineárne, sa zastaví na istej maximálnej hodnote. Takáto charakteristika sa objavuje napr. pri zosilňovačoch a magnetických prvkoch. Môže ísť tiež o použitie koncových snímačov (vypínačov), tzv. elektrické dorazy, ktoré vypínajú pohony po dosiahnutí určitej nastavenej hodnoty. Rovnakú úlohu plnia aj skutočné mechanické dorazy.
    V niektorých prípadoch môže ísť o požadovanú charakteristiku, napr. pilot môže ovládať kormidlá vo väčšom rozsahu ako autopilot, ten len v určitom menšom, dorazmi definovanom intervale.


Obr. 7.8 Prevodová charakteristika nelinearity Pásmo nasýtenia

    Vplyv pásma nasýtenia na systémy:
  •     presnosť sa nemení,
  •     stabilita sa tiež podstatne nemení,
  •     podstatne sa môže zmeniť kvalita systému, čas regulácie je vyšší, systém je teda zvyčajne pomalší, pretože akčná veličina je vo svojej amplitúde obmedzená.

    2. Pásmo necitlivosti

    V tomto prípade zvyčajne senzory nie sú schopné niečo zaregistrovať, aj keď slabý vstupný signál už existuje. Pásmo necitlivosti sa taktiež (typicky) objavuje u servomotorov pri malých hodnotách vstupnej budiacej veličiny, na ktorú servomotor ešte nereaguje. Úmyselne sa pásmo necitlivosti často zaraďuje do reléových riadiacich systémov, kde určujú kľudový stav systému. Pásmo necitlivosti obecne stabilizuje nelineárne systémy, ale v prípade výskytu u meracích či ústredných členov regulátora vždy zhorší presnosť (systém je schopný zastaviť kdekoľvek v pásme necitlivosti. Podobný vplyv má aj pásmo necitlivosti pohonu, tu sa dá však potlačiť integračným regulátorom (zvyšuje akčnú veličinu – teda prekoná pásmo necitlivosti, kým má na vstupe signál nenulovej regulačnej odchýlky).


Obr. 7.9 Pásmo necitlivosti

    Uvedené (a ďalšie) jednotlivé nelinearity sa môžu kombinovať, napríklad kombinácia pásma necitlivosti a nasýtenia dáva charakteristiku podľa obr.10:


Obr. 7.10 Kombinácia pásma nasýtenia a pásma necitlivosti


    3. Reléové nelineárne charakteristiky:

    Pomenovanie reléové charakteristiky je historicky dané od elektromechanických spínacích a prepínacích prvkov používaných v riadiacich systémoch – relé. V rôznych obmenách a s modernými relé (či už elektromechanickými či polovodičovými) sa pre rad výhodných vlastností reléové riadenie používa do dnes. V súčasnosti sa dokonca často realizuje aj s počítačom vo funkcii ústredného členu riadiaceho systému, ktorý však na výstupe nemá D/A prevodník, ale ovláda spínacie prvky.

    Reléový člen so stavom zapnutý/vypnutý

    K prechodu medzi stavmi dochádza na určitej hodnote regulačnej odchýlky $e$. K prechodu zvyčajne dochádza pri nulovej hodnote $e$. Pri kladných hodnotách regulačnej odchýlky (požadovaná hodnota je väčšia ako skutočná, $e=w-y$) je stav zapnutý, pri záporných hodnotách stav vypnutý. Na takomto princípe pracuje napríklad aj systém regulácie teploty s termostatom. Nevýhodou však môže byť, že aktívny účinok riadenia je len jednostranný.


Obr. 7.11 Stav zapnutý/vypnutý


    Stav zapnutý/prepnutý

    Keď chceme obojstranný účinok, potrebujeme stav zapnutý/prepnutý. Ide o veľmi častý typ riadiacich systémov aj v leteckej technike.


Obr. 7.12 Stav zapnutý/prepnutý

    V tomto prípade systém nemá vypnutý stav, iba zapnutý a prepnutý, preto v „ustálenom stave“ v okolí nulovej regulačnej odchýlky prekmitáva regulátor rýchlo medzi jedným a druhým stavom. Túto skutočnosť zistíme napríklad akusticky, systém vrní a chveje sa. Príkladom môže byť natáčanie kanóna s reléovým riadením (napríklad na vrtuľníku Mi 24). Keďže sa podobné systémy používajú pomerne často, bola z hľadiska praktickej použiteľnosti upravená aj definícia stability kybernetických nelineárnych systémov a to tak, že systém je považovaný za stabilný – technicky použiteľný, keď má v „ustálenom stave“ vysokú frekvenciu a malú amplitúdu kmitov výstupnej veličiny (to je „vrní“ bez poznateľných výchyliek).
    Nelineárne systémy sú robustnejšie a spoľahlivejšie, regulátory majú menšie rozmery a hmotnosti (najmä chladiče). Je všeobecne známe, že ten istý výkonový tranzistor má pomer medzi prúdom, ktorý môže spínať v spínacom (nelineárnom) režime alebo regulovať v spojitom (lineárnom) režime približne 10 : 1.

    Trojpolohová regulácia – k reléovému členu dodáme pásmo necitlivosti:



Obr. 7.13 Trojpolohová regulácia

    Reguláciou sme znížili spotrebu, odstránili vrnenie, ale keďže sme zaviedli pásmo necitlivosti, zhoršili sme presnosť. Ustálená regulačná odchýlka $e_u$ je kdekoľvek v rozpätí zavedeného pásma necitlivosti.

    4. Vibračná linearizácia

    Použime reléový (spínaný) regulátor s jeho všetkými výhodnými vlastnosťami, ale pomocným obvodom mu vnúťme prepínanie stavov aj bez regulačnej odchýlky na jeho vstupe. Toto kmitanie je budené umelo s vnútenou vysokou frekvenciou a motorček či iný zotrvačný riadený objekt nestíha sledovať jednotlivé stavy výstupu regulátora. V takom prípade reagujú objekty podľa strednej hodnoty signálu akčnej veličiny $u$. Pri nulovej regulačnej odchýlke na vstupe regulátora jeho výstupný signál striedu (časový pomer stavov zap/prep) 1 : 1. Pri kladnej alebo zápornej regulačnej odchýlke v systéme sa mení pomer medzi stavmi zapnuté – prepnuté (šírkovo puzná modulácia PWR) signálu „u“ tak, že regulačnej odchýlke je úmerná jeho kladná či záporná stredná hodnota. V dôsledku uvedeného sa riadený objekt správa tak, ako keby bol riadený lineárne, napríklad spojitým zosilňovačom. Uvedenému spôsobu riadenia pomocou reléového regulátora sa hovorí „vibračná linearizácia“.


Obr. 7.14 Princíp vibračnej linearizácie